כותרת דפי מזכרת

שער מזכרת חדש באתר מזכרת עכשיו מה שהיה שער המוזיאון

 

חשבוניות וסרגלי חישוב - כלי החישוב שלפני המחשבון

 

חשבוניות

בישראל, כיום, אנחנו מכירים חשבוניות בעיקר כצעצוע ילדים, וכעזרה לצעדים הראשונים בלימוד המספרים ופעולות החשבון הפשוטות ביותר, חיבור וחיסור. אפשר לקנות חשבונית רק בחנויות צעצועים, כמשחק לימודי לילדים קטנים בגיל גן או גנון.

לא תמיד זה היה כך, ולא בכל מקום. חשבונית יכולה להיות אמצעי עזר רציני לחישוב, לא רק לחיבור וחיסור אלא גם לכפל וחילוק. כיום משתמשים כך בחשבוניה בעיקר בשני אזורים בעולם: ברוסיה ובמזרח הרחוק - בסין וביפן, כל מקום ודגם החשבוניה שלו. ברוסיה משתמשים בה עדיין בעיקר בחנויות, וכיום אין לומדים אותה בביה"ס כבעבר. בעבר היתה בשימוש נרחב בחנויות ובבנקים. בסין ויפן משתמשים בה רבים גם כיום, ולומדים את השימוש בה בבית הספר היסודי.

לחשבוניה היסטוריה ארוכה, אבל כמו במכשירים ובטכנולוגיות מסורתיות, איננו יודעים את הפרטים, ואיננו יודעים מיהם האנשים שתרמו להתפתחותה בצורתה המקובלת במקומות השונים. בצורתה הפשוטה והעתיקה ביותר, החשבוניה היא מספר גומות, או מלבנים מצויירים על לוח, שמניחים בתוכם אבנים. בחשבוניות כיום, שורות של חרוזים מושחלים על קנים דקים, והקנים קבועים במסגרת. ביוון השתמשו בחשבוניות כבר כחמש מאות שנה לפני הספירה, ובסין כאלפיים שנה קודם.

חשבוניה רוסית לתלמידים בתצלום משמאל חשבוניה רוסית - "סשוטי". למעשה זו רק חשבוניית בי"ס, קטנה ופשוטה מחשבוניה "אמיתית". בחשבוניה המלאה יותר ספרות, זאת אומרת שורות חרוזים.

על כל קנה עשרה חרוזים, מחוץ לקנה אחד (או שנים) שעליו ארבעה. מספר החרוזים המוזזים שמאלה, באותה שורה, מייצג סיפרה, מ- 0 עד 10. שורת ארבעת החרוזים מייצגת את הנקודה העשרונית, ואפשר לחשב בה ברבעים (רבעי רובל), במקום בשבר עשרוני. שני החרוזים הכהים באמצע כל שורה עוזרים לזיהוי מהיר של הסיפרה. חרוז כהה בראש השורה הרביעית מעל הנקודה העשרונית (והשביעית, אם ישנה), מסמן את שורת האלפים (והמיליונים). הקנים עשויים מברזל, ולרוב הם קמורים, כדי שהחרוזים המוזזים לאחד הקצוות ישארו במקומם.

משתמשים בחשבוניה הרוסית כשהיא מונחת כמו בתצלום: שורות החרוזים אופקיות, והספרות יורדות בערכן מלמעלה למטה.

במוזיאון המושבה במזכרת בתיה מוצגת חשבוניה רוסית מלאה.

חשבוניה יפנית - סורובן וזה הסורובן - החשבוניה היפנית.

בכל שורת חרוזים אנכית, המייצגת סיפרה, רק חמישה חרוזים, וסרגל, לאורך החשבוניה, מחלק כל שורה לשנים. בחלק העליון של השורות חרוז אחד בכל שורה, ובתחתון ארבעה. ערך כל חרוז בחלק העליון (המכונה "שמים") הוא 5, וערך כל חרוז בחלק התחתון (המכונה "אדמה", או "ארץ") הוא 1. החרוזים כאן עשויים מחומר פלסטי, אבל באופן מסורתי הם, כמובן, מעץ. בכל מקרה, זו צורת החרוזים, והם מושחלים על קני במבוק.

לייצוג סיפרה מזיזים את החרוזים מהמסגרת החיצונית אל הסרגל המרכזי. הסורובן שבתצלום מראה את המספר 98765432100 .. כמו במספרים רגילים, למספר 10 אין ייצוג בשורה אחת, וערך הספרות גדל לכיוון שמאל.

בתצלום חשבוניה קטנה, רק 17 ספרות, או שורות חרוזים. ישנן חשבוניות של יותר מעשרים, ואף יותר משלושים ספרות - תמיד מספר בלתי זוגי. בחשבוניה ארוכה אפשר להציג ביחד, במקומות שונים לאורכה, שנים או שלושה מספרים. משמאל "רושמים" את המספרים שרוצים להכפיל או לחלק, ומימין עושים את החשבון. לייצוג הנקודה העשרונית בוחרים אחת מהנקודות הלבנות שעל הסרגל המרכזי.

 

סרגלי חישוב

ההיסטוריה של סרגל החישוב קצרה יותר, ידועה ומתועדת היטב. מגוון הצורות והשימושים שלו התפתח בצעדים רבים, גדולים וקטנים, וממציאיהם, בדרך כלל, ידועים.

הבסיס לפעולת סרגל החישוב הם הלוגריתמים. הפונקציה הלוגריתמית (במובן המתמטי של המילה "פונקציה") נותנת אפשרות לחשב מכפלה של מספרים על ידי חיבור הלוגריתמים שלהם. המציא (או גילה) את הלוגריתמים ג'ון נייפיר (Napier) בשנת 1614. שנים מעטות אחרי זה, ב- 1624, כבר המציא וויליאם אוטרד (Oughtred) את סרגל החישוב הלוגריתמי, אמנם בצורה פשוטה - שני סרגלי עץ מונחים זה ליד זה.

סרגל החישוב המשיך להתפתח, ובין התורמים לכך היו אישים ידועים, כמו איזק ניוטון וג'יימס ווט. מספר הסקלות על סרגל הלך ועלה, וככל שהמציאו סקלות חדשות לשימושים נוספים, הלך והתפשט גם השימוש בסרגל החישוב בהנדסה ובתחומים אחרים. מתחילת המאה ה- 19 ועד שהמחשבון האלקטרוני הרג אותו בסוף המאה ה- 20, סרגל החישוב היה כלי עבודה חיוני של המהנדס והמדען. קשה היה לחשוב על חישוב הנדסי או מדעי ללא סרגל חישוב.

סרגל החישוב הלך והשתכלל במשך כל התקופה הזאת. הסידור שהנהיג מנהיים (Mannheim), קצין ארטילריה צרפתי, ב- 1850-51, לסקלות הבסיסיות, נשאר מקובל עד סוף ימיו של סרגל החישוב. ב- 1886, בקירוב, המציאו שיטה לציפוי עץ הסרגל בצלולואיד, והתחילו ימי הסקלות הלבנות. ב- 1890 המציא וויליאם קוקס (Cox) את דגם ה"דופלקס", המאפשר להשתמש בשני צידי הסרגל. מספר הסקלות לחישובים שונים הלך ועלה, והגיע, במשוכללים שבסרגלים, ליותר משלושים. בנוסף לכפל וחילוק, אפשר היה לחשב בהם חזקות, שורשים, לוגריתמים וחישובים טריגונומטריים, היפרבוליים ומעריכיים, מחוץ לחישובים מיוחדים בסרגלים ייעודיים.

יש הבדל עקרוני בין החישוב בסרגל החישוב לבין החישוב בחשבוניה. בסרגל אפשר לחשב חישובים מורכבים ורבי שלבים אבל החישוב הוא אנלוגי ומקורב (משמעות המונח "אנלוגי" היא שקוראים את המספר לפי מקומו של קו, או מחוון, על סקלה, ולא בשורה של ספרות). זה מתאים לצרכים ולדרישות של המהנדס והמדען. בחנות ובבנק, שחישובי הכספים בהם פשוטים אבל חייבים להיות מדוייקים עד הפרוטה אחרונה, המשיכה לשלוט החשבוניה.

סרגל-כיס פשוט בתצלום משמאל סרגל חישוב של כיס.

זהו סרגל בסיסי, עשוי מחומר פלסטי לבן (סרגלים טובים יותר עשויים מעץ ומצופים). אורכו 15 ס"מ, ואורך הסקלות 12.5 ס"מ. לסרגל חישוב שולחני רגיל אורך כפול, וישנם סרגלים ארוכים עוד יותר - האורך תורם לדיוק החישוב.

הסרגל בנוי משלושה חלקים: גוף, לשון, שהיא הפס המוזז ימינה בסרגל המצולם, וחלון עם קו אנכי דק, שגם אותו אפשר להזיז. לחישוב מכפלה מזיזים את הלשון עד שקצה הסקלה עליה בדיוק מול הנכפל בסקלה שעל הגוף, וקוראים את התוצאה, שוב בסקלה שעל הגוף, מול הכופל בסקלה שעל הלשון. הקו שעל החלון עוזר לקרוא בדיוק את המכפלה.

סרגל-חישוב עגול פשוט היו גם סרגלי חישוב עגולים. במקום לשון שמחליקים ימינה או שמאלה, ישנה כאן דיסקית מסתובבת. גם החלון עם הקו מסתובב מסביב לציר הדיסקית.

קוטרו של הסרגל הפשוט הזה כ- 85 מ"מ, קוטר הדיסקית המסתובבת 66 מ"מ, אבל אורך הסקלות הבסיסיות 208 מ"מ. בסרגל עגול הסקלות ארוכות ביחס לגודל הסרגל, אבל אם ישנן עליו סקלות רבות, במעגלים קונצנטריים, הסקלות הפנימיות קצרות בהרבה, ולכן דיוק החישוב איננו אחיד.

סרגל החישוב העגול הופיע כמעט ביחד עם הסרגל הישר - וויליאם אוטרד ניסה גם אותו, אבל אף פעם לא היה מקובל כמו סרגל החישוב הישר.

 

לסיום, שתי הערות:

ראשית,

אם משווים את החשבוניה וסרגל החישוב למחשבונים של היום, מתגלה מגמה מעניינת.

בעבר, המכשירים היו פשוטים במבנה, והמבנה גלוי לעין, אבל השימוש בהם דרש מיומנות רבה והבנה.

כיום המכשירים מורכבים, אם כי המורכבות הזאת, לרוב היא מוסתרת מעין המשתמש, ואילו השימוש פשוט ובקושי דורש מיומנות כלשהי.

החשבוניה וסרגל החישוב הן דוגמאות מצויינות לכך.


ושנית,

אפילו בחשבוניה, הנראית כאחד המכשירים הפשוטים ביותר האפשריים - כמה חרוזים על שורת מקלות - ישנה מידה רבה של תיחכום.

בחשבוניה הרוסית אפשר לראות זאת בחרוזים הכהים המקלים את ספירת החרוזים, ובשורות במספר שונה של חרוזים, המתאים גם לחלוקת המטבע וגם לסימון הנקודה העשרונית, ובקימור של הקנים.

בסורובן זה בולט בייצוג האלגנטי של הספרות ע"י חרוזים מעטים כל כך, בעזרת החלוקה של כל מחרוזת לשנים.

על התיחכום בסקלות של סרגל החישוב אפשר לכתוב, ונכתבו, ספרים.

פשטות איננה הניגוד של תיחכום.

שינוי אחרון 2006-05-07